指向深度学习的高中数学问题链教学设计

摘要   新课标颁布实施以来，核心素养如何落地生根成为基础教育课程改革的重要命题。核心素养的培养需要学生沉浸式地经历与体悟数学的发生、发展过程。基于问题链的数学深度学习将问题链作为载体，是一种具体化的数学深度学习形式。问题链的设计应在单元目标、学情等指导下，梳理知识脉络以确立教学联结点；在导入和深度加工阶段，问题链设计则要充分考虑学生的最近发展区，编排富有层次的问题链，为学生搭建合理的阶梯；而问题链实施后的评价阶段，教师需要及时反馈以把握学习结果。

主题词深度学习  问题链  教学设计

一、指向深度学习的数学问题链教学

21世纪以来我国的数学课程改革，对学生的问题意识以及发现问题、提出问题、分析问题、解决问题等方面的能力提出了更高的要求。《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布以来，核心素养如何落地生根成为基础教育课程改革的重要命题。数学学科教育不能仅满足于对现有知识体系的准确传递，还需要以学科知识为载体，让学生看到数学作为一门学科的发展过程以及学科活动的运作方式，感受到支撑起这种运作方式的数学思维与数学精神，以此培养学生的数学关键能力与必备品格。站在学生学习的角度来看，依靠认真听讲、多做练习的学习方式显然已无法满足核心素养培养的要求。

核心素养的培养需要学生沉浸式地经历与体悟数学的发生、发展过程，通过问题解决活动感受数学的思想方法和数学思维，并内化为自己的思维方式，从而“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”，体会到数学在人类文化发展过程中所起到的重要作用。基于问题链的数学深度学习将问题链作为载体，是一种具体化的数学深度学习形式。其目的在于通过问题链的设计渗透数学深度学习特征，营造数学深度学习的课堂，进而引导学生进入深度学习。

问题链的设计需严密贴合数学深度学习各个环节的要求，即问题链的设计应在单元目标、学情等指导下，梳理知识脉络以确立教学联结点，针对具体课型和学习目标加以设计。在导入和深度加工阶段，问题链设计则要充分考虑学生的最近发展区，于细微处编排富有层次的问题链，为学生搭建合理的阶梯。而问题链实施后的评价阶段，教师需要及时反馈以把握学习结果。

本文以“点到直线的距离”为例，简述对深度学习的思考与实践，以期为深度学习的落实提供具体的抓手。

二、“点到直线的距离”问题链设计

点到直线的距离公式是高中解析几何中最重要的公式之一，它是解决点线、线线、线面、面面距离的基础，也是研究直线与圆位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线作准备。点到直线的距离的计算方法很多，如何选择具有可操作性、普适性的方法是本节课的难点。在点到直线的距离公式的探究过程中，让学生领会数形结合、类比、由特殊到一般的数学思想方法。

1、在预备阶段确立教学关联点

在本节课之前，学生刚刚学习了点与点之间的距离公式以及公式的推导过程，已接触了从特殊到一般的研究问题的方法。数学问题链教学强调为学生提供数学思考的基本脉络，倡导让学生在思维脉络中产生问题、研究问题。因此，数学知识、方法之间的关联成为数学问题链设计的逻辑起点。从知识点角度，在研究过两点间的距离公式后，接下来从逻辑上很自然就过渡到研究点到直线的距离，从几何的图形直观来讲，学生已经可以作出点到直线的垂线段，并理解垂线段长是定点到直线上所有点的距离的最小值，即点到直线的距离。从解决问题的方法角度，两点间的距离公式的推导运用了由特殊到一般、化斜为直等数学思想方法，这样的方法可以迁移到点到直线的距离的研究中。

2、 建构导入阶段和深加工阶段的数学问题链

问题1（情境设疑）已知点和直线，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点到直线的距离呢？

开门见山地提出本节课要解决的主要问题，引起认知冲突。学生能从图形的角度作出表示这个距离的线段，在具体问题中怎样算出这个距离呢？在一般情形下怎样用代数的形式表示呢，有统一的公式吗？

问题2（先行组织者）类比是数学学习与研究中非常重要的思维，它能为新问题的研究提供思考方向。请同学们回忆一下，在以往的学习中我们求过哪些距离？用了哪些方法？这些方法中，哪些是几何的方法，哪些是代数的表达？

问题2试图为学生建立起思考、探索新问题的框架。具体的讲，学生之前接触的距离问题大多是用几何的方法解决的，如“将军饮马”问题、“胡不归”问题等。这些都为点到直线的距离公式的推导提供了图形基础。而在解析几何中刚刚学习的两点间的距离公式则提供了用代数解决几何问题的方法指引。

 问题3（特例先行） 求点到直线的距离.

此问题的特殊性在于，点在轴上，直线过原点。学生通过自我探索，会寻找到下面几种解法:

方法1 过点作于，则直线的方程为.解方程组得.所以

方法2 设是上任意一点，则,当时，有最小值，这个最小值就是点到直线的距离.

方法3 过点作于，在中，.

方法4 (化斜为直)过点作轴的垂线交于，作于,因为,所以.

特殊的情形中隐含着一般情形下思考问题的方法，让学生在解决问题的过程中去体会、发现。同时教师应引导学生不能仅仅满足于找到解决问题一种方法，要尝试多角度思考问题。一个问题解决之后，要及时反思：这个问题我是怎样解决的？还可以作哪些推广？

问题4（特殊性减退）求点到直线的距离.

此问题比问题2具有一般性，在分组探究后，学生们发现若选用方法3，三角函数值的计算会比较复杂，方法2是从函数的角度研究最值，虽然具有一般性，但若直线方程含参数，计算也会比较复杂。通过方法的选择、比较，学生们发现方法1和方法4更具有操作性、普适性。

通过方法的比较与选择，学生进一步体会由特殊到一般、数形结合等数学思想方法，体验研究问题的方法，并学会在以后研究其他问题时进行迁移应用，这样的过程就是深度学习的特征。

问题5（一般性推导）在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线.怎样用点的坐标和直线的方程求点到直线的距离呢?

学生可自由讨论，已有了前面的探究的经验，将用于特殊情形的方法迁移到解决一般的问题，实现从特殊到一般的升华。

方案1 过点作于，由可知，直线的方程为，由直线的方程①与直线的方程②联立，求点的坐标。这里直接计算太复杂，但是涉及解析几何中重要的运算技能，我们不能“滑过”。

我们设，则，盯住这个目标式，又由在上得③，从结构上观察，须将、整体运算，将②式变为④，③的平方与④的平方相加得，变形再开根即可以得到点到直线距离.

方案2 (化斜为直)设,这时直线与轴、轴都相交，过点作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点.因为点在直线上，得,.所以，

，由勾股定理得，再有三角形面积公式可知：，所以. 易证当时,也成立。

点到直线的距离公式的一般性推导是本节课的主要任务、主干内容，但这个重点不是靠老师反复强调的，而是在问题链的逐步引导下，在递进式的问题解决的过程中自然引出的。公式的整个推导的过程也是学生深度参与的，自主解决的。有了这样的深度学习的过程，公式还记不住吗?或者说公式还需要死记硬背吗?经历这样的过程，学生的数学素养才得到真正的提升。

在学生经历自然的推导过程后，教师师趁热打铁提出下面的问题：

问题6（反思回顾）回顾点到直线的距离公式的推导过程，从方法论的角度给我们什么启发？在遇到解析几何中比较复杂的运算时，我们需要从中总结出常用的运算的方法吗？

提出这样的追问，让学生在得到想要的结论后，及时总结经验，反思不足并加以改进，这将为今后的学习提供思维导向和方法支持。

问题7（学以致用）求点到下列直线的距离：

通过不同形式的直线，强调公式应用的条件，进一步体会数形结合的思想。

3、 问题链的反思与评价

这节问题链的教学设计注重在知识、学习、教学等角度渗透“深度”指向特征，关注知识发生、发展的过程，让学生主动探究，深度参与公式的推导过程，善用“先行组织者”，进行类比迁移，促进学生深度学习。在深度学习过程中，学生经历探究过程，得到深层次的情感体验，更能高效的建构知识，掌握解决问题的方法。

这节教学设计摒弃以往先直接给出定理公式，再强化巩固练习的“高效”课堂教学模式，而是利用精心设计的问题链引领同学们经历知识发生、发展、应用的全过程。设计的7个问题，层层递进，由特殊到一般，为学生搭建起思维递升的阶梯。其中问题3和问题4是特殊情形下的点到直线的距离，当然我们设置的问题链都是主干问题，在这些主干问题的前后，我们还可以根据课堂教学的需要设置或追问一些辅助问题，如点到直线的距离等。问题5是一般情形下公式的推导，其中方案1的运算是在特殊情形下不会出现的运算难点，但它是解析几何中必须掌握的运算的方法，只有经历这样的过程，学生才能了解公式的来龙去脉，不光想得到，而且算得出。

类比和归纳是重要的数学思想，也是数学深度学习的高阶思维方式。培养学生的类比与归纳能力，才可能真正让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维思考世界。先行组织者的设计运用，能有效的发展学生的迁移能力，在以后遇到相似的问题的时候，能将方法和思想进行迁移运用。问题2的设计就是为新知的教学提供了在抽象、概括程度上都高于学习内容的材料，即陈述性“组织者”。而在问题6中，再次应用陈述性“组织者”，继对本节课学习进行方法论上的回顾总结，同时又为后续学习提供了框架。可见，先行组织者既帮助学习者形成新知识，还能帮助其保持知识，同时又使学习从知识表层通向了数学思想方法层面的深度学习。

参考文献：

[1］唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的理论与实践[M］.上海：华东师范大学出版社，2021.

[2］章建跃.高中数学核心内容教学设计案例集[M］.北京：人民教育出版社，2014.